求解 13a^2-12a-9=0

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

求解 a 的值

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1.413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0.489947452$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$13a^{2}-12a-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 13 替换 a，-12 替换 b，并用 -9 替换 c。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

对 -12 进行平方运算。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

求 -4 与 13 的乘积。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

求 -52 与 -9 的乘积。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

将 468 加上 144。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

取 612 的平方根。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

-12 的相反数是 12。

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

求 2 与 13 的乘积。

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

现在 ± 为加号时求公式 a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} 的解。 将 6\sqrt{17} 加上 12。

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

12+6\sqrt{17} 除以 26。

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

现在 ± 为减号时求公式 a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} 的解。 将 12 减去 6\sqrt{17}。

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

12-6\sqrt{17} 除以 26。

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

现已求得方程式的解。

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$13a^{2}-12a-9=0$$

在等式两边同时加 9。

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 减去它自己得 0。

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

将 0 减去 -9。

$$13a^{2}-12a=9$$

两边同时除以 13。

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

除以 13 是乘以 13 的逆运算。

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

将 x 项的系数 -\frac{12}{13} 除以 2 得 -\frac{6}{13}。然后在等式两边同时加上 -\frac{6}{13} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

对 -\frac{6}{13} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

将 \frac{36}{169} 加上 \frac{9}{13}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

因数 a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

化简。

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

在等式两边同时加 \frac{6}{13}。

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$