求解 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 12x^{2}+ax+bx-7。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -84 的所有此类整数对。

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

计算每对之和。

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

该解答是总和为 17 的对。

$$a=-4 b=21$$

将 12x^{2}+17x-7 改写为 \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)。

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

将 4x 放在第二个组中的第一个和 7 中。

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-1。

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

若要找到方程解，请解 3x-1=0 和 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$12x^{2}+17x-7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 12 替换 a，17 替换 b，并用 -7 替换 c。

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

对 17 进行平方运算。

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

求 -4 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

求 -48 与 -7 的乘积。

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

将 336 加上 289。

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

取 625 的平方根。

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

求 2 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-17±25}{24} 的解。 将 25 加上 -17。

$$x=\frac{8}{24}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{8}{24} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-17±25}{24} 的解。 将 -17 减去 25。

$$x=-\frac{42}{24}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{-42}{24} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{7}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$12x^{2}+17x-7=0$$

在等式两边同时加 7。

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 减去它自己得 0。

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

将 0 减去 -7。

$$12x^{2}+17x=7$$

两边同时除以 12。

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

除以 12 是乘以 12 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

将 x 项的系数 \frac{17}{12} 除以 2 得 \frac{17}{24}。然后在等式两边同时加上 \frac{17}{24} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

对 \frac{17}{24} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

将 \frac{289}{576} 加上 \frac{7}{12}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

因数 x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

化简。

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

将等式的两边同时减去 \frac{17}{24}。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$