求解 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0.454545455+0.987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0.454545455-0.987525499i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$11x^{2}-10x+13=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 11 替换 a，-10 替换 b，并用 13 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

对 -10 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

求 -4 与 11 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

求 -44 与 13 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

将 -572 加上 100。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

取 -472 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

-10 的相反数是 10。

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

求 2 与 11 的乘积。

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} 的解。 将 2i\sqrt{118} 加上 10。

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

10+2i\sqrt{118} 除以 22。

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} 的解。 将 10 减去 2i\sqrt{118}。

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

10-2i\sqrt{118} 除以 22。

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$11x^{2}-10x+13=0$$

将等式的两边同时减去 13。

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

13 减去它自己得 0。

$$11x^{2}-10x=-13$$

两边同时除以 11。

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

除以 11 是乘以 11 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

将 x 项的系数 -\frac{10}{11} 除以 2 得 -\frac{5}{11}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{11} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{11} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

将 \frac{25}{121} 加上 -\frac{13}{11}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

因数 x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{11}。

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$