求解 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

求解 x 的值

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

运用二次公式的步骤

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$11x^{2}-9x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 11、用 -9 替换 b、用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

完成计算。

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} 的解。

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

使用获取的解改写不等式。

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

若要使积为正，x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} 和 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} 必须同时为负或同时为正。 考虑 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} 和 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} 均为负的情况。

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

同时满足两个不等式的解是 x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}。

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

考虑 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} 和 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} 均为正的情况。

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

同时满足两个不等式的解是 x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}。

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

最终解是获得的解的并集。

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$