求解 1000x^2+6125x+125=0

$$1000 { x }^{ 2 } +6125x+125=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}\approx -0.020476619$$

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}\approx -6.104523381$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1000 替换 a，6125 替换 b，并用 125 替换 c。

$$x=\frac{-6125±\sqrt{6125^{2}-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

对 6125 进行平方运算。

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

求 -4 与 1000 的乘积。

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4000\times 125}}{2\times 1000}$$

求 -4000 与 125 的乘积。

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-500000}}{2\times 1000}$$

将 -500000 加上 37515625。

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37015625}}{2\times 1000}$$

取 37015625 的平方根。

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2\times 1000}$$

求 2 与 1000 的乘积。

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000} 的解。 将 125\sqrt{2369} 加上 -6125。

$$x=\frac{125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

-6125+125\sqrt{2369} 除以 2000。

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000} 的解。 将 -6125 减去 125\sqrt{2369}。

$$x=\frac{-125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

-6125-125\sqrt{2369} 除以 2000。

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

将等式的两边同时减去 125。

$$1000x^{2}+6125x+125-125=-125$$

125 减去它自己得 0。

$$1000x^{2}+6125x=-125$$

两边同时除以 1000。

$$\frac{1000x^{2}+6125x}{1000}=-\frac{125}{1000}$$

除以 1000 是乘以 1000 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{6125}{1000}x=-\frac{125}{1000}$$

通过求根和消去 125，将分数 \frac{6125}{1000} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{125}{1000}$$

通过求根和消去 125，将分数 \frac{-125}{1000} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{1}{8}$$

将 x 项的系数 \frac{49}{8} 除以 2 得 \frac{49}{16}。然后在等式两边同时加上 \frac{49}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}$$

对 \frac{49}{16} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{2401}{256}$$

将 \frac{2401}{256} 加上 -\frac{1}{8}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=\frac{2369}{256}$$

因数 x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}=\frac{2369}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2369}{256}}$$

化简。

$$x+\frac{49}{16}=\frac{\sqrt{2369}}{16} x+\frac{49}{16}=-\frac{\sqrt{2369}}{16}$$

将等式的两边同时减去 \frac{49}{16}。

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$