求解 -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9.722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4.388670163$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -3 替换 a，16 替换 b，并用 128 替换 c。

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

对 16 进行平方运算。

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

求 -4 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

求 12 与 128 的乘积。

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

将 1536 加上 256。

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

取 1792 的平方根。

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

求 2 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} 的解。 将 16\sqrt{7} 加上 -16。

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

-16+16\sqrt{7} 除以 -6。

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} 的解。 将 -16 减去 16\sqrt{7}。

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

-16-16\sqrt{7} 除以 -6。

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

将等式的两边同时减去 128。

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

128 减去它自己得 0。

$$-3x^{2}+16x=-128$$

两边同时除以 -3。

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

除以 -3 是乘以 -3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

16 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

-128 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{16}{3} 除以 2 得 -\frac{8}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{8}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{8}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

将 \frac{64}{9} 加上 \frac{128}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{8}{3}。

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$