求解 -7x^2+5x-4=0

$$- 7 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}\approx 0.357142857-0.666241361i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}\approx 0.357142857+0.666241361i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -7 替换 a，5 替换 b，并用 -4 替换 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

求 -4 与 -7 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+28\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

求 28 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-112}}{2\left(-7\right)}$$

将 -112 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{-87}}{2\left(-7\right)}$$

取 -87 的平方根。

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{2\left(-7\right)}$$

求 2 与 -7 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} 的解。 将 i\sqrt{87} 加上 -5。

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{-14}$$

-5+i\sqrt{87} 除以 -14。

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} 的解。 将 -5 减去 i\sqrt{87}。

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{-14}$$

-5-i\sqrt{87} 除以 -14。

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14} x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

在等式两边同时加 4。

$$-7x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 减去它自己得 0。

$$-7x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

将 0 减去 -4。

$$-7x^{2}+5x=4$$

两边同时除以 -7。

$$\frac{-7x^{2}+5x}{-7}=\frac{4}{-7}$$

除以 -7 是乘以 -7 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{5}{-7}x=\frac{4}{-7}$$

5 除以 -7。

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=\frac{4}{-7}$$

4 除以 -7。

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=-\frac{4}{7}$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{7} 除以 2 得 -\frac{5}{14}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{14} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{14} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{25}{196}$$

将 \frac{25}{196} 加上 -\frac{4}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{87}{196}$$

因数 x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{87}{196}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{196}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{87}i}{14} x-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{87}i}{14}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{14}。

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14} x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$