求解 -x^2+10x-81=0

$$- { x }^{ 2 } +10x-81=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=-2\sqrt{14}i+5\approx 5-7.483314774i$$

$$x=5+2\sqrt{14}i\approx 5+7.483314774i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+10x-81=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，10 替换 b，并用 -81 替换 c。

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-81\right)}}{2\left(-1\right)}$$

对 10 进行平方运算。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-81\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-81\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 -81 的乘积。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-324}}{2\left(-1\right)}$$

将 -324 加上 100。

$$x=\frac{-10±\sqrt{-224}}{2\left(-1\right)}$$

取 -224 的平方根。

$$x=\frac{-10±4\sqrt{14}i}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-10±4\sqrt{14}i}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-10±4\sqrt{14}i}{-2} 的解。 将 4i\sqrt{14} 加上 -10。

$$x=\frac{-10+4\sqrt{14}i}{-2}$$

-10+4i\sqrt{14} 除以 -2。

$$x=-2\sqrt{14}i+5$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-10±4\sqrt{14}i}{-2} 的解。 将 -10 减去 4i\sqrt{14}。

$$x=\frac{-4\sqrt{14}i-10}{-2}$$

-10-4i\sqrt{14} 除以 -2。

$$x=5+2\sqrt{14}i$$

现已求得方程式的解。

$$x=-2\sqrt{14}i+5 x=5+2\sqrt{14}i$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-x^{2}+10x-81=0$$

在等式两边同时加 81。

$$-x^{2}+10x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

-81 减去它自己得 0。

$$-x^{2}+10x=-\left(-81\right)$$

将 0 减去 -81。

$$-x^{2}+10x=81$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+10x}{-1}=\frac{81}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{10}{-1}x=\frac{81}{-1}$$

10 除以 -1。

$$x^{2}-10x=\frac{81}{-1}$$

81 除以 -1。

$$x^{2}-10x=-81$$

将 x 项的系数 -10 除以 2 得 -5。然后在等式两边同时加上 -5 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-81+\left(-5\right)^{2}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x^{2}-10x+25=-81+25$$

将 25 加上 -81。

$$x^{2}-10x+25=-56$$

因数 x^{2}-10x+25。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-5\right)^{2}=-56$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-56}$$

化简。

$$x-5=2\sqrt{14}i x-5=-2\sqrt{14}i$$

在等式两边同时加 5。

$$x=5+2\sqrt{14}i x=-2\sqrt{14}i+5$$