求解 (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14.152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0.847932652$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 20-x 乘以 100+20x，并组合同类项。

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

将方程式两边同时减去 2240。

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

将 2000 减去 2240，得到 -240。

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -20 替换 a，300 替换 b，并用 -240 替换 c。

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

对 300 进行平方运算。

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

求 -4 与 -20 的乘积。

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

求 80 与 -240 的乘积。

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

将 -19200 加上 90000。

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

取 70800 的平方根。

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

求 2 与 -20 的乘积。

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} 的解。 将 20\sqrt{177} 加上 -300。

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

-300+20\sqrt{177} 除以 -40。

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} 的解。 将 -300 减去 20\sqrt{177}。

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

-300-20\sqrt{177} 除以 -40。

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

使用配方法的步骤

使用分配律将 20-x 乘以 100+20x，并组合同类项。

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

将方程式两边同时减去 2000。

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

将 2240 减去 2000，得到 240。

$$300x-20x^{2}=240$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-20x^{2}+300x=240$$

两边同时除以 -20。

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

除以 -20 是乘以 -20 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

300 除以 -20。

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

240 除以 -20。

$$x^{2}-15x=-12$$

将 x 项的系数 -15 除以 2 得 -\frac{15}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{15}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{15}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

将 \frac{225}{4} 加上 -12。

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

因数 x^{2}-15x+\frac{225}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{15}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$