求解 (20-3x)(12-2x)=112

$$(20-3x)(12-2x)=112$$

求解 x 的值

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10.666666667$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 20-3x 乘以 12-2x，并组合同类项。

$$240-76x+6x^{2}=112$$

将方程式两边同时减去 112。

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

将 240 减去 112，得到 128。

$$128-76x+6x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}-76x+128=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，-76 替换 b，并用 128 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

对 -76 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

求 -24 与 128 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

将 -3072 加上 5776。

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

取 2704 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

-76 的相反数是 76。

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{76±52}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{76±52}{12} 的解。 将 52 加上 76。

$$x=\frac{128}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{128}{12} 降低为最简分数。

$$x=\frac{32}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{76±52}{12} 的解。 将 76 减去 52。

$$x=\frac{24}{12}$$

24 除以 12。

$$x=2$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

使用配方法的步骤

使用分配律将 20-3x 乘以 12-2x，并组合同类项。

$$240-76x+6x^{2}=112$$

将方程式两边同时减去 240。

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

将 112 减去 240，得到 -128。

$$-76x+6x^{2}=-128$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}-76x=-128$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-76}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-128}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{38}{3} 除以 2 得 -\frac{19}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{19}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{19}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

将 \frac{361}{9} 加上 -\frac{64}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{19}{3}。

$$x=\frac{32}{3} x=2$$