求解 (7+3sqrt{2})^2-(5-2sqrt{5})^2

$$( 7 + 3 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - ( 5 - 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }$$

求值

$$20\sqrt{5}+42\sqrt{2}+22\approx 126.11832917$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(7+3\sqrt{2}\right)^{2}。

$$49+42\sqrt{2}+9\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$49+42\sqrt{2}+9\times 2-\left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}$$

将 9 与 2 相乘，得到 18。

$$49+42\sqrt{2}+18-\left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}$$

49 与 18 相加，得到 67。

$$67+42\sqrt{2}-\left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}。

$$67+42\sqrt{2}-\left(25-20\sqrt{5}+4\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$67+42\sqrt{2}-\left(25-20\sqrt{5}+4\times 5\right)$$

将 4 与 5 相乘，得到 20。

$$67+42\sqrt{2}-\left(25-20\sqrt{5}+20\right)$$

25 与 20 相加，得到 45。

$$67+42\sqrt{2}-\left(45-20\sqrt{5}\right)$$

要查找 45-20\sqrt{5} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$67+42\sqrt{2}-45+20\sqrt{5}$$

将 67 减去 45，得到 22。

$$22+42\sqrt{2}+20\sqrt{5}$$

展开

$$20 \sqrt{5} + 42 \sqrt{2} + 22 = 126.11832917$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(7+3\sqrt{2}\right)^{2}。

$$49+42\sqrt{2}+9\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$49+42\sqrt{2}+9\times 2-\left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}$$

将 9 与 2 相乘，得到 18。

$$49+42\sqrt{2}+18-\left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}$$

49 与 18 相加，得到 67。

$$67+42\sqrt{2}-\left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(5-2\sqrt{5}\right)^{2}。

$$67+42\sqrt{2}-\left(25-20\sqrt{5}+4\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$67+42\sqrt{2}-\left(25-20\sqrt{5}+4\times 5\right)$$

将 4 与 5 相乘，得到 20。

$$67+42\sqrt{2}-\left(25-20\sqrt{5}+20\right)$$

25 与 20 相加，得到 45。

$$67+42\sqrt{2}-\left(45-20\sqrt{5}\right)$$

要查找 45-20\sqrt{5} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$67+42\sqrt{2}-45+20\sqrt{5}$$

将 67 减去 45，得到 22。

$$22+42\sqrt{2}+20\sqrt{5}$$