求解 (4+2a)^2+(a+2)^2=16

$$( 4 + 2 a ) ^ { 2 } + ( a + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

求解 a 的值

$$a=\frac{4\sqrt{5}}{5}-2\approx -0.211145618$$

$$a=-\frac{4\sqrt{5}}{5}-2\approx -3.788854382$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4+2a\right)^{2}。

$$16+16a+4a^{2}+\left(a+2\right)^{2}=16$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(a+2\right)^{2}。

$$16+16a+4a^{2}+a^{2}+4a+4=16$$

合并 4a^{2} 和 a^{2}，得到 5a^{2}。

$$16+16a+5a^{2}+4a+4=16$$

合并 16a 和 4a，得到 20a。

$$16+20a+5a^{2}+4=16$$

16 与 4 相加，得到 20。

$$20+20a+5a^{2}=16$$

将方程式两边同时减去 16。

$$20+20a+5a^{2}-16=0$$

将 20 减去 16，得到 4。

$$4+20a+5a^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5a^{2}+20a+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，20 替换 b，并用 4 替换 c。

$$a=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

对 20 进行平方运算。

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-20\times 4}}{2\times 5}$$

求 -20 与 4 的乘积。

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-80}}{2\times 5}$$

将 -80 加上 400。

$$a=\frac{-20±\sqrt{320}}{2\times 5}$$

取 320 的平方根。

$$a=\frac{-20±8\sqrt{5}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$a=\frac{-20±8\sqrt{5}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 a=\frac{-20±8\sqrt{5}}{10} 的解。 将 8\sqrt{5} 加上 -20。

$$a=\frac{8\sqrt{5}-20}{10}$$

-20+8\sqrt{5} 除以 10。

$$a=\frac{4\sqrt{5}}{5}-2$$

现在 ± 为减号时求公式 a=\frac{-20±8\sqrt{5}}{10} 的解。 将 -20 减去 8\sqrt{5}。

$$a=\frac{-8\sqrt{5}-20}{10}$$

-20-8\sqrt{5} 除以 10。

$$a=-\frac{4\sqrt{5}}{5}-2$$

现已求得方程式的解。

$$a=\frac{4\sqrt{5}}{5}-2 a=-\frac{4\sqrt{5}}{5}-2$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4+2a\right)^{2}。

$$16+16a+4a^{2}+\left(a+2\right)^{2}=16$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(a+2\right)^{2}。

$$16+16a+4a^{2}+a^{2}+4a+4=16$$

合并 4a^{2} 和 a^{2}，得到 5a^{2}。

$$16+16a+5a^{2}+4a+4=16$$

合并 16a 和 4a，得到 20a。

$$16+20a+5a^{2}+4=16$$

16 与 4 相加，得到 20。

$$20+20a+5a^{2}=16$$

将方程式两边同时减去 20。

$$20a+5a^{2}=16-20$$

将 16 减去 20，得到 -4。

$$20a+5a^{2}=-4$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5a^{2}+20a=-4$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5a^{2}+20a}{5}=-\frac{4}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$a^{2}+\frac{20}{5}a=-\frac{4}{5}$$

20 除以 5。

$$a^{2}+4a=-\frac{4}{5}$$

将 x 项的系数 4 除以 2 得 2。然后在等式两边同时加上 2 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$a^{2}+4a+2^{2}=-\frac{4}{5}+2^{2}$$

对 2 进行平方运算。

$$a^{2}+4a+4=-\frac{4}{5}+4$$

将 4 加上 -\frac{4}{5}。

$$a^{2}+4a+4=\frac{16}{5}$$

因数 a^{2}+4a+4。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(a+2\right)^{2}=\frac{16}{5}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(a+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{5}}$$

化简。

$$a+2=\frac{4\sqrt{5}}{5} a+2=-\frac{4\sqrt{5}}{5}$$

将等式的两边同时减去 2。

$$a=\frac{4\sqrt{5}}{5}-2 a=-\frac{4\sqrt{5}}{5}-2$$