求解 (3x-1)^2-(2x+1)^2=7

$$( 3 x - 1 ) ^ { 2 } - ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 7$$

求解 x 的值

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx 2.549193338$$

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx -0.549193338$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(3x-1\right)^{2}。

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+1\right)^{2}。

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

要查找 4x^{2}+4x+1 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

合并 9x^{2} 和 -4x^{2}，得到 5x^{2}。

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

合并 -6x 和 -4x，得到 -10x。

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

将 1 减去 1，得到 0。

$$5x^{2}-10x=7$$

将方程式两边同时减去 7。

$$5x^{2}-10x-7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-10 替换 b，并用 -7 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

对 -10 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -7 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+140}}{2\times 5}$$

将 140 加上 100。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{240}}{2\times 5}$$

取 240 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

-10 的相反数是 10。

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10} 的解。 将 4\sqrt{15} 加上 10。

$$x=\frac{4\sqrt{15}+10}{10}$$

10+4\sqrt{15} 除以 10。

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10} 的解。 将 10 减去 4\sqrt{15}。

$$x=\frac{10-4\sqrt{15}}{10}$$

10-4\sqrt{15} 除以 10。

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(3x-1\right)^{2}。

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+1\right)^{2}。

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

要查找 4x^{2}+4x+1 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

合并 9x^{2} 和 -4x^{2}，得到 5x^{2}。

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

合并 -6x 和 -4x，得到 -10x。

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

将 1 减去 1，得到 0。

$$5x^{2}-10x=7$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{7}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{7}{5}$$

-10 除以 5。

$$x^{2}-2x=\frac{7}{5}$$

将 x 项的系数 -2 除以 2 得 -1。然后在等式两边同时加上 -1 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-2x+1=\frac{7}{5}+1$$

将 1 加上 \frac{7}{5}。

$$x^{2}-2x+1=\frac{12}{5}$$

因数 x^{2}-2x+1。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{12}{5}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{12}{5}}$$

化简。

$$x-1=\frac{2\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{2\sqrt{15}}{5}$$

在等式两边同时加 1。

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$