求解 (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

求解 r 的值

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2.22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20.22497216$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(3+r\right)^{2}。

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(15+r\right)^{2}。

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

9 与 225 相加，得到 234。

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

合并 6r 和 30r，得到 36r。

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

合并 r^{2} 和 r^{2}，得到 2r^{2}。

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

计算 2 的 18 乘方，得到 324。

$$234+36r+2r^{2}=324$$

将方程式两边同时减去 324。

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

将 234 减去 324，得到 -90。

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2r^{2}+36r-90=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，36 替换 b，并用 -90 替换 c。

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

对 36 进行平方运算。

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -90 的乘积。

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

将 720 加上 1296。

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

取 2016 的平方根。

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} 的解。 将 12\sqrt{14} 加上 -36。

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36+12\sqrt{14} 除以 4。

$$r=3\sqrt{14}-9$$

现在 ± 为减号时求公式 r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} 的解。 将 -36 减去 12\sqrt{14}。

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36-12\sqrt{14} 除以 4。

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

现已求得方程式的解。

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(3+r\right)^{2}。

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(15+r\right)^{2}。

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

9 与 225 相加，得到 234。

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

合并 6r 和 30r，得到 36r。

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

合并 r^{2} 和 r^{2}，得到 2r^{2}。

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

计算 2 的 18 乘方，得到 324。

$$234+36r+2r^{2}=324$$

将方程式两边同时减去 234。

$$36r+2r^{2}=324-234$$

将 324 减去 234，得到 90。

$$36r+2r^{2}=90$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2r^{2}+36r=90$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

36 除以 2。

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

90 除以 2。

$$r^{2}+18r=45$$

将 x 项的系数 18 除以 2 得 9。然后在等式两边同时加上 9 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

对 9 进行平方运算。

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

将 81 加上 45。

$$r^{2}+18r+81=126$$

因数 r^{2}+18r+81。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

化简。

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

将等式的两边同时减去 9。

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$