求解 (2x^2+x)^2-6x^2-3x+2=0

$$( 2 x ^ { 2 } + x ) ^ { 2 } - 6 x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}\approx 0.780776406$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\approx -1.280776406$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=-1$$

求解步骤

化简。

$$4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 2，q 除以首项系数 4。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2 除以 x+1 得 4x^{3}-5x+2。 求解结果等于 0 的方程式。

$$4x^{3}-5x+2=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 2，q 除以首项系数 4。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=\frac{1}{2}$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 4x^{3}-5x+2 除以 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 得 2x^{2}+x-2。 求解结果等于 0 的方程式。

$$2x^{2}+x-2=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 2、用 1 替换 b、用 -2 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

完成计算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 2x^{2}+x-2=0 的解。

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=-1 x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$