求解 (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

求解 x 的值

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+1\right)^{2}。

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-5\right)^{2}。

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

合并 4x^{2} 和 -x^{2}，得到 3x^{2}。

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

将 10x 添加到两侧。

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

合并 4x 和 10x，得到 14x。

$$3x^{2}+14x+1=25$$

将方程式两边同时减去 25。

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

将 1 减去 25，得到 -24。

$$3x^{2}+14x-24=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx-24。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -72 的所有此类整数对。

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

计算每对之和。

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

该解答是总和为 14 的对。

$$a=-4 b=18$$

将 3x^{2}+14x-24 改写为 \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)。

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 6 中。

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-4。

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

若要找到方程解，请解 3x-4=0 和 x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+1\right)^{2}。

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-5\right)^{2}。

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

合并 4x^{2} 和 -x^{2}，得到 3x^{2}。

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

将 10x 添加到两侧。

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

合并 4x 和 10x，得到 14x。

$$3x^{2}+14x+1=25$$

将方程式两边同时减去 25。

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

将 1 减去 25，得到 -24。

$$3x^{2}+14x-24=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，14 替换 b，并用 -24 替换 c。

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

对 14 进行平方运算。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -24 的乘积。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

将 288 加上 196。

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

取 484 的平方根。

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-14±22}{6} 的解。 将 22 加上 -14。

$$x=\frac{8}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{8}{6} 降低为最简分数。

$$x=\frac{4}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-14±22}{6} 的解。 将 -14 减去 22。

$$x=-\frac{36}{6}$$

-36 除以 6。

$$x=-6$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+1\right)^{2}。

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-5\right)^{2}。

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

合并 4x^{2} 和 -x^{2}，得到 3x^{2}。

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

将 10x 添加到两侧。

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

合并 4x 和 10x，得到 14x。

$$3x^{2}+14x+1=25$$

将方程式两边同时减去 1。

$$3x^{2}+14x=25-1$$

将 25 减去 1，得到 24。

$$3x^{2}+14x=24$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

24 除以 3。

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

将 x 项的系数 \frac{14}{3} 除以 2 得 \frac{7}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{7}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{7}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

将 \frac{49}{9} 加上 8。

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

因数 x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

化简。

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

将等式的两边同时减去 \frac{7}{3}。

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$