求解 (frac{sqrt{5}+1}{2})^2-(frac{sqrt{5}-1}{2})^2

$$( \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - ( \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } ) ^ { 2 }$$

求值

$$\sqrt{5}\approx 2.236067977$$

简短求解步骤

若要对 \frac{\sqrt{5}+1}{2} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

若要对 \frac{\sqrt{5}-1}{2} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{5}-1\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

5 与 1 相加，得到 6。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 展开 2^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

由于 \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} 和 \frac{6-2\sqrt{5}}{4} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

完成 \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right) 中的乘法运算。

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

完成 \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5} 中的计算。

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

消去 4 和 4。

$$\sqrt{5}$$

展开

$$\sqrt{5} = 2.236067977$$

简短求解步骤

若要对 \frac{\sqrt{5}+1}{2} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

若要对 \frac{\sqrt{5}-1}{2} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{5}-1\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

5 与 1 相加，得到 6。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 展开 2^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

由于 \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} 和 \frac{6-2\sqrt{5}}{4} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

完成 \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right) 中的乘法运算。

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

完成 \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5} 中的计算。

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

消去 4 和 4。

$$\sqrt{5}$$