求解 x^2-37x-365=0

$${ x }^{ 2 } -37x-365=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{2829} + 37}{2} \approx 45.094172294$$

$$x=\frac{37-\sqrt{2829}}{2}\approx -8.094172294$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-37x-365=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-37 替换 b，并用 -365 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{\left(-37\right)^{2}-4\left(-365\right)}}{2}$$

对 -37 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369-4\left(-365\right)}}{2}$$

求 -4 与 -365 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369+1460}}{2}$$

将 1460 加上 1369。

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{2829}}{2}$$

-37 的相反数是 37。

$$x=\frac{37±\sqrt{2829}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{37±\sqrt{2829}}{2} 的解。 将 \sqrt{2829} 加上 37。

$$x=\frac{\sqrt{2829}+37}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{37±\sqrt{2829}}{2} 的解。 将 37 减去 \sqrt{2829}。

$$x=\frac{37-\sqrt{2829}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{2829}+37}{2} x=\frac{37-\sqrt{2829}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-37x-365=0$$

在等式两边同时加 365。

$$x^{2}-37x-365-\left(-365\right)=-\left(-365\right)$$

-365 减去它自己得 0。

$$x^{2}-37x=-\left(-365\right)$$

将 0 减去 -365。

$$x^{2}-37x=365$$

将 x 项的系数 -37 除以 2 得 -\frac{37}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{37}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-37x+\left(-\frac{37}{2}\right)^{2}=365+\left(-\frac{37}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{37}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-37x+\frac{1369}{4}=365+\frac{1369}{4}$$

将 \frac{1369}{4} 加上 365。

$$x^{2}-37x+\frac{1369}{4}=\frac{2829}{4}$$

因数 x^{2}-37x+\frac{1369}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{37}{2}\right)^{2}=\frac{2829}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{37}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2829}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{37}{2}=\frac{\sqrt{2829}}{2} x-\frac{37}{2}=-\frac{\sqrt{2829}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{37}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{2829}+37}{2} x=\frac{37-\sqrt{2829}}{2}$$