求解 sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

求解 x 的值

$$x=9$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 -\sqrt{13-x}。

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x+7} 乘方，得到 x+7。

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}。

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{13-x} 乘方，得到 13-x。

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

4 与 13 相加，得到 17。

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

将等式的两边同时减去 17-x。

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

要查找 17-x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

将 7 减去 17，得到 -10。

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

合并 x 和 x，得到 2x。

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2x-10\right)^{2}。

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

展开 \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}。

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

计算 2 的 4 乘方，得到 16。

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{13-x} 乘方，得到 13-x。

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

使用分配律将 16 乘以 13-x。

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

将方程式两边同时减去 208。

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

将 100 减去 208，得到 -108。

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

将 16x 添加到两侧。

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

合并 -40x 和 16x，得到 -24x。

$$4x^{2}-24x-108=0$$

两边同时除以 4。

$$x^{2}-6x-27=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 x^{2}+ax+bx-27。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -27 的所有此类整数对。

$$1,-27 3,-9$$

计算每对之和。

$$1-27=-26 3-9=-6$$

该解答是总和为 -6 的对。

$$a=-9 b=3$$

将 x^{2}-6x-27 改写为 \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)。

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 3 中。

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-9。

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

若要找到方程解，请解 x-9=0 和 x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

用 9 替代方程 \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2 中的 x。

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

化简。 值 x=9 满足公式。

$$2=2$$

用 -3 替代方程 \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2 中的 x。

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

化简。 x=-3 的值不满足公式，因为左侧和右侧具有相反的符号。

$$-2=2$$

用 9 替代方程 \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2 中的 x。

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

化简。 值 x=9 满足公式。

$$2=2$$

公式 \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 具有唯一解。

$$x=9$$