求解 sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

关于 h 的微分

$$\cos(h)$$

运用导数定义的步骤

对于函数 f\left(x\right)，导数是指当 h 无限趋于 0 时 \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} 的极限，如果该极限存在的话。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

使用和的正弦公式。

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

因式分解出 \sin(h)。

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

改写该极限。

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

当计算 t 趋近于 0 时的极限时，使用 h 是一个常数这一事实。

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

极限 \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} 为 1。

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

要求值极限 \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}，首先将分子和分母同时乘以 \cos(t)+1。

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

求 \cos(t)+1 与 \cos(t)-1 的乘积。

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

使用勾股定理。

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

改写该极限。

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

极限 \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} 为 1。

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

运用 \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} 在 0 处是连续的这一事实。

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

将值 0 替换到表达式 \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h) 中。

$$\cos(h)$$

求值

$$\sin(h)$$