求解 {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=100$$

$$y=50$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$0.04x+0.02y=5$$

将等式的两边同时减去 \frac{y}{50}。

$$0.04x=-0.02y+5$$

将两边同时乘以 25。

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

求 25 与 -\frac{y}{50}+5 的乘积。

$$x=-0.5y+125$$

用 -\frac{y}{2}+125 替换另一个方程式中 0.5\left(x-2\right)-0.4y=29 中的 x。

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

将 -2 加上 125。

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

求 0.5 与 -\frac{y}{2}+123 的乘积。

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

将 -\frac{2y}{5} 加上 -\frac{y}{4}。

$$-0.65y+61.5=29$$

将等式的两边同时减去 61.5。

$$-0.65y=-32.5$$

等式两边同时除以 -0.65，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。

$$y=50$$

用 50 替换 x=-0.5y+125 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=-0.5\times 50+125$$

求 -0.5 与 50 的乘积。

$$x=-25+125$$

将 -25 加上 125。

$$x=100$$

系统现在已得到解决。

$$x=100,y=50$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

将第二个等式化简为标准形式。

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

求 0.5 与 x-2 的乘积。

$$0.5x-1-0.4y=29$$

在等式两边同时加 1。

$$0.5x-0.4y=30$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=100,y=50$$