求解 {l}{x+y-3z+t=2c}{3x-y+z-t=2a}{-x+3y-z+t=2b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y - 3 z + t = 2 c } \\ { 3 x - y + z - t = 2 a } \\ { - x + 3 y - z + t = 2 b } \end{array} \right.$$

求解 x, y, z 的值

$$x=\frac{t+b+c+4a}{6}$$

$$y=\frac{-t+2a+5b-c}{6}$$

$$z=\frac{t+a+b-2c}{3}$$

运用代入法的简短步骤

解 x 中的 x+y-3z+t=2c。

$$x=-y+3z-t+2c$$

用 -y+3z-t+2c 替代第二个和第三个方程中的 x。

$$3\left(-y+3z-t+2c\right)-y+z-t=2a -\left(-y+3z-t+2c\right)+3y-z+t=2b$$

解方程，分别求出 y 和 z。

$$y=-t+\frac{5}{2}z-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}c z=y-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}t$$

用 -t+\frac{5}{2}z-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}c 替代方程 z=y-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}t 中的 y。

$$z=-t+\frac{5}{2}z-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}c-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}t$$

解 z 中的 z=-t+\frac{5}{2}z-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}c-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}t。

$$z=\frac{1}{3}t-\frac{2}{3}c+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b$$

用 \frac{1}{3}t-\frac{2}{3}c+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b 替代方程 y=-t+\frac{5}{2}z-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}c 中的 z。

$$y=-t+\frac{5}{2}\left(\frac{1}{3}t-\frac{2}{3}c+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b\right)-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}c$$

由 y=-t+\frac{5}{2}\left(\frac{1}{3}t-\frac{2}{3}c+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b\right)-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}c 计算 y。

$$y=-\frac{1}{6}t-\frac{1}{6}c+\frac{1}{3}a+\frac{5}{6}b$$

用 -\frac{1}{6}t-\frac{1}{6}c+\frac{1}{3}a+\frac{5}{6}b 替代方程 x=-y+3z-t+2c 中的 y、\frac{1}{3}t-\frac{2}{3}c+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b 和 z。

$$x=-\left(-\frac{1}{6}t-\frac{1}{6}c+\frac{1}{3}a+\frac{5}{6}b\right)+3\left(\frac{1}{3}t-\frac{2}{3}c+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b\right)-t+2c$$

由 x=-\left(-\frac{1}{6}t-\frac{1}{6}c+\frac{1}{3}a+\frac{5}{6}b\right)+3\left(\frac{1}{3}t-\frac{2}{3}c+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b\right)-t+2c 计算 x。

$$x=\frac{1}{6}t+\frac{1}{6}c+\frac{2}{3}a+\frac{1}{6}b$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{1}{6}t+\frac{1}{6}c+\frac{2}{3}a+\frac{1}{6}b y=-\frac{1}{6}t-\frac{1}{6}c+\frac{1}{3}a+\frac{5}{6}b z=\frac{1}{3}t-\frac{2}{3}c+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b$$