求解 {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

将等式的两边同时减去 8。

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

在等式两边同时加 by。

$$ax=by-8$$

两边同时除以 a。

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

求 \frac{1}{a} 与 by-8 的乘积。

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

用 \frac{by-8}{a} 替换另一个方程式中 bx+ay+1=0 中的 x。

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

求 b 与 \frac{by-8}{a} 的乘积。

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

将 ay 加上 \frac{b^{2}y}{a}。

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

将 1 加上 -\frac{8b}{a}。

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

将等式的两边同时减去 \frac{a-8b}{a}。

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

两边同时除以 a+\frac{b^{2}}{a}。

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

用 \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} 替换 x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

求 \frac{b}{a} 与 \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} 的乘积。

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

将 \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} 加上 -\frac{8}{a}。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

运用消元法的步骤

为了通过消除项来求解，必须使两个方程式中某个变量的系数相同以便使用一个等式减去另一个等式时，该变量可被消去。

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

要让 ax 和 bx 相等，将第一个等式的两边所有项乘以 b，再将第二个等式两边的所有项乘以 a。

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

化简。

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

用 abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 减去 abx+a^{2}y+a=0，运算方法是在两个等式的等号两边分别进行同类项减法运算。

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

将 -bax 加上 bax。 项 bax 和 -bax 消去，剩下一个仅含一个变量的可求解的方程式。

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

将 -a^{2}y 加上 -b^{2}y。

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

将等式的两边同时减去 8b-a。

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

两边同时除以 -b^{2}-a^{2}。

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

用 -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} 替换 bx+ay+1=0 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

求 a 与 -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} 的乘积。

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

将 1 加上 -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}}。

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

将等式的两边同时减去 \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}}。

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

两边同时除以 b。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$