求解 {l}{3x^2+2y^2=2}{2x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=\frac{4}{5}=0.8\text{, }y=\frac{1}{5}=0.2$$

$$x=-\frac{20}{31}\approx -0.64516129\text{, }y=\frac{19}{31}\approx 0.612903226$$

运用代入法和二次公式的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$2x+7y=3,2y^{2}+3x^{2}=2$$

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 2x+7y=3。

$$2x+7y=3$$

将等式的两边同时减去 7y。

$$2x=-7y+3$$

两边同时除以 2。

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}$$

用 -\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} 替换另一个方程式中 2y^{2}+3x^{2}=2 中的 x。

$$2y^{2}+3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}\right)^{2}=2$$

对 -\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} 进行平方运算。

$$2y^{2}+3\left(\frac{49}{4}y^{2}-\frac{21}{2}y+\frac{9}{4}\right)=2$$

求 3 与 \frac{49}{4}y^{2}-\frac{21}{2}y+\frac{9}{4} 的乘积。

$$2y^{2}+\frac{147}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{27}{4}=2$$

将 \frac{147}{4}y^{2} 加上 2y^{2}。

$$\frac{155}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{27}{4}=2$$

将等式的两边同时减去 2。

$$\frac{155}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{19}{4}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2} 替换 a，3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2 替换 b，并用 \frac{19}{4} 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{63}{2}\right)^{2}-4\times \frac{155}{4}\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

对 3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969}{4}-4\times \frac{155}{4}\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

求 -4 与 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969}{4}-155\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

求 -155 与 \frac{19}{4} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969-2945}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

将 -\frac{2945}{4} 加上 \frac{3969}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{256}}{2\times \frac{155}{4}}$$

取 256 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±16}{2\times \frac{155}{4}}$$

3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2 的相反数是 \frac{63}{2}。

$$y=\frac{\frac{63}{2}±16}{2\times \frac{155}{4}}$$

求 2 与 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}} 的解。 将 16 加上 \frac{63}{2}。

$$y=\frac{\frac{95}{2}}{\frac{155}{2}}$$

\frac{95}{2} 除以 \frac{155}{2} 的计算方法是用 \frac{95}{2} 乘以 \frac{155}{2} 的倒数。

$$y=\frac{19}{31}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}} 的解。 将 \frac{63}{2} 减去 16。

$$y=\frac{\frac{31}{2}}{\frac{155}{2}}$$

\frac{31}{2} 除以 \frac{155}{2} 的计算方法是用 \frac{31}{2} 乘以 \frac{155}{2} 的倒数。

$$y=\frac{1}{5}$$

y 有两个解: \frac{19}{31} 和 \frac{1}{5}。用 \frac{19}{31} 替换等式 x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{19}{31}+\frac{3}{2}$$

-\frac{7}{2} 乘以 \frac{19}{31} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$x=-\frac{133}{62}+\frac{3}{2}$$

将 \frac{3}{2} 加上 -\frac{7}{2}\times \frac{19}{31}。

$$x=-\frac{20}{31}$$

现在用 \frac{1}{5} 替换等式 x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{3}{2}$$

-\frac{7}{2} 乘以 \frac{1}{5} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$x=-\frac{7}{10}+\frac{3}{2}$$

将 \frac{3}{2} 加上 -\frac{7}{2}\times \frac{1}{5}。

$$x=\frac{4}{5}$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\frac{20}{31},y=\frac{19}{31}\text{ or }x=\frac{4}{5},y=\frac{1}{5}$$