求解 {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 将公式两边同时乘以 4 的最小公倍数 4,2。

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

考虑第 2 个公式。 将方程式两边同时减去 my。

$$x-my=1$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 x+\left(-m\right)y=1。

$$x+\left(-m\right)y=1$$

将等式的两边同时减去 \left(-m\right)y。

$$x=my+1$$

用 my+1 替换另一个方程式中 2y^{2}+x^{2}=4 中的 x。

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

对 my+1 进行平方运算。

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

将 m^{2}y^{2} 加上 2y^{2}。

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

将等式的两边同时减去 4。

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2+1m^{2} 替换 a，1\times 1\times 2m 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

对 1\times 1\times 2m 进行平方运算。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

求 -4 与 2+1m^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

求 -8-4m^{2} 与 -3 的乘积。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

将 24+12m^{2} 加上 4m^{2}。

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

取 24+16m^{2} 的平方根。

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

求 2 与 2+1m^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} 的解。 将 2\sqrt{6+4m^{2}} 加上 -2m。

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m+2\sqrt{6+4m^{2}} 除以 4+2m^{2}。

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} 的解。 将 -2m 减去 2\sqrt{6+4m^{2}}。

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m-2\sqrt{6+4m^{2}} 除以 4+2m^{2}。

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y 有两个解: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 和 -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}。用 \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 替换等式 x=my+1 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

求 m 与 \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 的乘积。

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

将 1 加上 m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}。

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

现在用 -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 替换等式 x=my+1 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

求 m 与 -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 的乘积。

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

将 1 加上 m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right)。

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

系统现在已得到解决。

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

求解 x, y 的值 (复数求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$