求解 ∫ -3x^2left(4x^3+4right)^3 wrt x

$$\int{ -3 { x }^{ 2 } { \left(4 { x }^{ 3 } +4 \right) }^{ 3 } }d x$$

求值

$$С-64x^{3}-96x^{6}-64x^{9}-16x^{12}$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} 展开 \left(4x^{3}+4\right)^{3}。

$$\int -3x^{2}\left(64\left(x^{3}\right)^{3}+192\left(x^{3}\right)^{2}+192x^{3}+64\right)\mathrm{d}x$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。3 乘 3 得 9。

$$\int -3x^{2}\left(64x^{9}+192\left(x^{3}\right)^{2}+192x^{3}+64\right)\mathrm{d}x$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。3 乘 2 得 6。

$$\int -3x^{2}\left(64x^{9}+192x^{6}+192x^{3}+64\right)\mathrm{d}x$$

使用分配律将 -3x^{2} 乘以 64x^{9}+192x^{6}+192x^{3}+64。

$$\int -192x^{11}-576x^{8}-576x^{5}-192x^{2}\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int -192x^{11}\mathrm{d}x+\int -576x^{8}\mathrm{d}x+\int -576x^{5}\mathrm{d}x+\int -192x^{2}\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$-192\int x^{11}\mathrm{d}x-576\int x^{8}\mathrm{d}x-576\int x^{5}\mathrm{d}x-192\int x^{2}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{11}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{12}}{12}。 求 -192 与 \frac{x^{12}}{12} 的乘积。

$$-16x^{12}-576\int x^{8}\mathrm{d}x-576\int x^{5}\mathrm{d}x-192\int x^{2}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{8}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{9}}{9}。 求 -576 与 \frac{x^{9}}{9} 的乘积。

$$-16x^{12}-64x^{9}-576\int x^{5}\mathrm{d}x-192\int x^{2}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{5}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{6}}{6}。 求 -576 与 \frac{x^{6}}{6} 的乘积。

$$-16x^{12}-64x^{9}-96x^{6}-192\int x^{2}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{2}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{3}}{3}。 求 -192 与 \frac{x^{3}}{3} 的乘积。

$$-16x^{12}-64x^{9}-96x^{6}-64x^{3}$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的就，则 f\left(x\right) 的所有 antiderivatives 的集合都由 F\left(x\right)+C 提供。因此，将集成 C\in \mathrm{R} 的常数添加到结果中。

$$-64x^{3}-96x^{6}-64x^{9}-16x^{12}+С$$

关于 x 的微分

$$-192x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{3}$$