求解 ∫ (from 1 to 2) of (x+sqrt[3]{x}+1/x^2) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x + \sqrt[ 3 ] { x } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) d x$$

求值

$$\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}+\frac{5}{4}\approx 3.139881575$$

求解步骤

首先计算定积分。

$$\int x+\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

将 \sqrt[3]{x} 改写为 x^{\frac{1}{3}}。 由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}。 化简。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x 替换为 -\frac{1}{x}。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\frac{1}{x}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{2^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 2^{\frac{4}{3}}-2^{-1}-\left(\frac{1^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 1^{\frac{4}{3}}-1^{-1}\right)$$

化简。

$$\frac{5}{4}+\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$$