求解 ∫ (4x^7+4x+4)(28x^6+4) wrt x

$$\int ( 4 x ^ { 7 } + 4 x + 4 ) ( 28 x ^ { 6 } + 4 ) d x$$

求值

$$8x^{14}+16x^{8}+16x^{7}+8x^{2}+16x+С$$

求解步骤

使用分配律将 4x^{7}+4x+4 乘以 28x^{6}+4，并组合同类项。

$$\int 112x^{13}+128x^{7}+16x+112x^{6}+16\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int 112x^{13}\mathrm{d}x+\int 128x^{7}\mathrm{d}x+\int 16x\mathrm{d}x+\int 112x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$112\int x^{13}\mathrm{d}x+128\int x^{7}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{13}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{14}}{14}。 求 112 与 \frac{x^{14}}{14} 的乘积。

$$8x^{14}+128\int x^{7}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{7}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{8}}{8}。 求 128 与 \frac{x^{8}}{8} 的乘积。

$$8x^{14}+16x^{8}+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。 求 16 与 \frac{x^{2}}{2} 的乘积。

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{6}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{7}}{7}。 求 112 与 \frac{x^{7}}{7} 的乘积。

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+16x^{7}+\int 16\mathrm{d}x$$

使用标准积分规则表查找 16 的整数 \int a\mathrm{d}x=ax。

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+16x^{7}+16x$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的就，则 f\left(x\right) 的所有 antiderivatives 的集合都由 F\left(x\right)+C 提供。因此，将集成 C\in \mathrm{R} 的常数添加到结果中。

$$8x^{14}+16x^{8}+16x^{7}+8x^{2}+16x+С$$

关于 x 的微分

$$16\left(7x^{6}+1\right)\left(x^{7}+x+1\right)$$