求解 frac{sqrt{18}-sqrt{12}}{sqrt{50}-sqrt{48}}

$$\frac{ \sqrt{ 18 } - \sqrt{ 12 } }{ \sqrt{ 50 } - \sqrt{ 48 } }$$

求值

$$\sqrt{6}+3\approx 5.449489743$$

求解步骤

因式分解 18=3^{2}\times 2。 将乘积 \sqrt{3^{2}\times 2} 的平方根重写为平方根 \sqrt{3^{2}}\sqrt{2} 的乘积。 取 3^{2} 的平方根。

$$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{12}}{\sqrt{50}-\sqrt{48}}$$

因式分解 12=2^{2}\times 3。 将乘积 \sqrt{2^{2}\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2^{2}}\sqrt{3} 的乘积。 取 2^{2} 的平方根。

$$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{50}-\sqrt{48}}$$

因式分解 50=5^{2}\times 2。 将乘积 \sqrt{5^{2}\times 2} 的平方根重写为平方根 \sqrt{5^{2}}\sqrt{2} 的乘积。 取 5^{2} 的平方根。

$$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-\sqrt{48}}$$

因式分解 48=4^{2}\times 3。 将乘积 \sqrt{4^{2}\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{4^{2}}\sqrt{3} 的乘积。 取 4^{2} 的平方根。

$$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-4\sqrt{3}}$$

通过将分子和分母乘以 5\sqrt{2}+4\sqrt{3}，使 \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-4\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{\left(5\sqrt{2}-4\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}$$

请考虑 \left(5\sqrt{2}-4\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{\left(5\sqrt{2}\right)^{2}-\left(-4\sqrt{3}\right)^{2}}$$

展开 \left(5\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{5^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(-4\sqrt{3}\right)^{2}}$$

计算 2 的 5 乘方，得到 25。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{25\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(-4\sqrt{3}\right)^{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{25\times 2-\left(-4\sqrt{3}\right)^{2}}$$

将 25 与 2 相乘，得到 50。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{50-\left(-4\sqrt{3}\right)^{2}}$$

展开 \left(-4\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{50-\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

计算 2 的 -4 乘方，得到 16。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{50-16\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{50-16\times 3}$$

将 16 与 3 相乘，得到 48。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{50-48}$$

将 50 减去 48，得到 2。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}\right)}{2}$$

应用分配律，将 3\sqrt{2}-2\sqrt{3} 的每一项和 5\sqrt{2}+4\sqrt{3} 的每一项分别相乘。

$$\frac{15\left(\sqrt{2}\right)^{2}+12\sqrt{3}\sqrt{2}-10\sqrt{3}\sqrt{2}-8\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{15\times 2+12\sqrt{3}\sqrt{2}-10\sqrt{3}\sqrt{2}-8\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

将 15 与 2 相乘，得到 30。

$$\frac{30+12\sqrt{3}\sqrt{2}-10\sqrt{3}\sqrt{2}-8\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

若要将 \sqrt{3} 和 \sqrt{2} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$\frac{30+12\sqrt{6}-10\sqrt{3}\sqrt{2}-8\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

若要将 \sqrt{3} 和 \sqrt{2} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$\frac{30+12\sqrt{6}-10\sqrt{6}-8\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

合并 12\sqrt{6} 和 -10\sqrt{6}，得到 2\sqrt{6}。

$$\frac{30+2\sqrt{6}-8\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{30+2\sqrt{6}-8\times 3}{2}$$

将 -8 与 3 相乘，得到 -24。

$$\frac{30+2\sqrt{6}-24}{2}$$

将 30 减去 24，得到 6。

$$\frac{6+2\sqrt{6}}{2}$$

6+2\sqrt{6} 的每项除以 2 得 3+\sqrt{6}。

$$3+\sqrt{6}$$