求解 x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

求解 x 的值

$$x=2$$

$$x=-2$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -1,1。 将公式两边同时乘以 \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2} 的最小公倍数 \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}。

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

使用分配律将 x^{2}+2x+1 乘以 x^{3}-1。

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-1\right)^{2}。

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

使用分配律将 x^{2}-2x+1 乘以 x^{3}+1。

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

要查找 x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

合并 x^{5} 和 -x^{5}，得到 0。

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

合并 -x^{2} 和 -x^{2}，得到 -2x^{2}。

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

合并 2x^{4} 和 2x^{4}，得到 4x^{4}。

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

合并 -2x 和 2x，得到 0。

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

合并 x^{3} 和 -x^{3}，得到 0。

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

将 -1 减去 1，得到 -2。

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-1\right)^{2}。

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

使用分配律将 6 乘以 x^{2}-2x+1。

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

使用分配律将 6x^{2}-12x+6 乘以 x^{2}+2x+1，并组合同类项。

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

将方程式两边同时减去 6x^{4}。

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

合并 4x^{4} 和 -6x^{4}，得到 -2x^{4}。

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

将 12x^{2} 添加到两侧。

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

合并 -2x^{2} 和 12x^{2}，得到 10x^{2}。

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

将方程式两边同时减去 6。

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

将 -2 减去 6，得到 -8。

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

将 t 替换为 x^{2}。

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 -2、用 10 替换 b、用 -8 替换 c。

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

完成计算。

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 t=\frac{-10±6}{-4} 的解。

$$t=1 t=4$$

由于 x=t^{2}, 解是通过对每个 t 判定 x=±\sqrt{t} 得到的。

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

变量 x 不能等于任意以下值: 1,-1。

$$x=-2 x=2$$