求解 v/v^2+17v+72-8/v^2+15v+56

$$\frac { v } { v ^ { 2 } + 17 v + 72 } - \frac { 8 } { v ^ { 2 } + 15 v + 56 }$$

求值

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

简短求解步骤

因式分解 v^{2}+17v+72。 因式分解 v^{2}+15v+56。

$$\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 \left(v+8\right)\left(v+9\right) 和 \left(v+7\right)\left(v+8\right) 的最小公倍数是 \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)。 求 \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 与 \frac{v+7}{v+7} 的乘积。 求 \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} 与 \frac{v+9}{v+9} 的乘积。

$$\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

由于 \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 和 \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

完成 v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right) 中的乘法运算。

$$\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

合并 v^{2}+7v-8v-72 中的项。

$$\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

将 \frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 中尚未因式分解的表达式分解因式。

$$\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

消去分子和分母中的 v+8。

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

展开 \left(v+7\right)\left(v+9\right)。

$$\frac{v-9}{v^{2}+16v+63}$$

关于 v 的微分

$$\frac{207+18v-v^{2}}{v^{4}+32v^{3}+382v^{2}+2016v+3969}$$

运用商的导数法则的步骤

因式分解 v^{2}+17v+72。 因式分解 v^{2}+15v+56。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)})$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 \left(v+8\right)\left(v+9\right) 和 \left(v+7\right)\left(v+8\right) 的最小公倍数是 \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)。 求 \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 与 \frac{v+7}{v+7} 的乘积。 求 \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} 与 \frac{v+9}{v+9} 的乘积。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

由于 \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 和 \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

完成 v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right) 中的乘法运算。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

合并 v^{2}+7v-8v-72 中的项。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

将 \frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 中尚未因式分解的表达式分解因式。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

消去分子和分母中的 v+8。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)})$$

使用分配律将 v+7 乘以 v+9，并组合同类项。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{v^{2}+16v+63})$$

对于任意两个可微函数，这两个函数的商的导数即分母乘以分子的导数减去分子乘以分母的导数的差，再除以分母的平方，所得的值。

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}-9)-\left(v^{1}-9\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{2}+16v^{1}+63)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

多项式的导数是其各项的导数之和。常数项的导数是 0。ax^{n} 的导数是 nax^{n-1}。

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{1-1}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{2-1}+16v^{1-1}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

化简。

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

求 v^{2}+16v^{1}+63 与 v^{0} 的乘积。

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

求 v^{1}-9 与 2v^{1}+16v^{0} 的乘积。

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}\times 2v^{1}+v^{1}\times 16v^{0}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

同底的幂相乘，则要将其指数相加。

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{1+1}+16v^{1}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

化简。

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{2}+16v^{1}-18v^{1}-144v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

合并同类项。

$$\frac{-v^{2}+18v^{1}+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

对于任何项 t，均为 t^{1}=t。

$$\frac{-v^{2}+18v+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

对于任何项 t (0 除外)，均为 t^{0}=1。

$$\frac{-v^{2}+18v+207\times 1}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

对于任何项 t，均为 t\times 1=t 和 1t=t。

$$\frac{-v^{2}+18v+207}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$