求解 v/v+1+3/v-1-6/v^2-1

$$\frac { v } { v + 1 } + \frac { 3 } { v - 1 } - \frac { 6 } { v ^ { 2 } - 1 }$$

求值

$$\frac{v+3}{v+1}$$

简短求解步骤

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 v+1 和 v-1 的最小公倍数是 \left(v-1\right)\left(v+1\right)。 求 \frac{v}{v+1} 与 \frac{v-1}{v-1} 的乘积。 求 \frac{3}{v-1} 与 \frac{v+1}{v+1} 的乘积。

$$\frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}+\frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

由于 \frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 和 \frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

完成 v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right) 中的乘法运算。

$$\frac{v^{2}-v+3v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

合并 v^{2}-v+3v+3 中的项。

$$\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1}$$

因式分解 v^{2}-1。

$$\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

由于 \frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 和 \frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{v^{2}+2v+3-6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

合并 v^{2}+2v+3-6 中的项。

$$\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

将 \frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 中尚未因式分解的表达式分解因式。

$$\frac{\left(v-1\right)\left(v+3\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}$$

消去分子和分母中的 v-1。

$$\frac{v+3}{v+1}$$

关于 v 的微分

$$-\frac{2}{\left(v+1\right)^{2}}$$

运用商的导数法则的步骤

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 v+1 和 v-1 的最小公倍数是 \left(v-1\right)\left(v+1\right)。 求 \frac{v}{v+1} 与 \frac{v-1}{v-1} 的乘积。 求 \frac{3}{v-1} 与 \frac{v+1}{v+1} 的乘积。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}+\frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

由于 \frac{v\left(v-1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 和 \frac{3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

完成 v\left(v-1\right)+3\left(v+1\right) 中的乘法运算。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}-v+3v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

合并 v^{2}-v+3v+3 中的项。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{v^{2}-1})$$

因式分解 v^{2}-1。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)}-\frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

由于 \frac{v^{2}+2v+3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 和 \frac{6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v+3-6}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

合并 v^{2}+2v+3-6 中的项。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

将 \frac{v^{2}+2v-3}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)} 中尚未因式分解的表达式分解因式。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{\left(v-1\right)\left(v+3\right)}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)})$$

消去分子和分母中的 v-1。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v+3}{v+1})$$

对于任意两个可微函数，这两个函数的商的导数即分母乘以分子的导数减去分子乘以分母的导数的差，再除以分母的平方，所得的值。

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}+3)-\left(v^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}+1)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

多项式的导数是其各项的导数之和。常数项的导数是 0。ax^{n} 的导数是 nax^{n-1}。

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)v^{1-1}-\left(v^{1}+3\right)v^{1-1}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

执行算术运算。

$$\frac{\left(v^{1}+1\right)v^{0}-\left(v^{1}+3\right)v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

使用分配律展开。

$$\frac{v^{1}v^{0}+v^{0}-\left(v^{1}v^{0}+3v^{0}\right)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

同底的幂相乘，则要将其指数相加。

$$\frac{v^{1}+v^{0}-\left(v^{1}+3v^{0}\right)}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

去除不必要的括号。

$$\frac{v^{1}+v^{0}-v^{1}-3v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

合并同类项。

$$\frac{\left(1-1\right)v^{1}+\left(1-3\right)v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

用 1 减去 1，用 3 减去 1。

$$\frac{-2v^{0}}{\left(v^{1}+1\right)^{2}}$$

对于任何项 t，均为 t^{1}=t。

$$\frac{-2v^{0}}{\left(v+1\right)^{2}}$$

对于任何项 t (0 除外)，均为 t^{0}=1。

$$\frac{-2}{\left(v+1\right)^{2}}$$