求解 4x^2/x^2+25-10x+2x-24x-120/x-5=0

$$\frac { 4 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 25 - 10 x } + \frac { 2 x - 24 x - 120 } { x - 5 } = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5 \sqrt{433} - 5}{18} \approx 5.502403346$$

$$x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18}\approx -6.057958902$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于 5。 将公式两边同时乘以 \left(x-5\right)^{2} 的最小公倍数 x^{2}+25-10x,x-5。

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(2x-24x-120\right)=0$$

合并 2x 和 -24x，得到 -22x。

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(-22x-120\right)=0$$

使用分配律将 x-5 乘以 -22x-120，并组合同类项。

$$4x^{2}-22x^{2}-10x+600=0$$

合并 4x^{2} 和 -22x^{2}，得到 -18x^{2}。

$$-18x^{2}-10x+600=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -18 替换 a，-10 替换 b，并用 600 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 600}}{2\left(-18\right)}$$

对 -10 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-18\right)\times 600}}{2\left(-18\right)}$$

求 -4 与 -18 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+72\times 600}}{2\left(-18\right)}$$

求 72 与 600 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+43200}}{2\left(-18\right)}$$

将 43200 加上 100。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{43300}}{2\left(-18\right)}$$

取 43300 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±10\sqrt{433}}{2\left(-18\right)}$$

-10 的相反数是 10。

$$x=\frac{10±10\sqrt{433}}{2\left(-18\right)}$$

求 2 与 -18 的乘积。

$$x=\frac{10±10\sqrt{433}}{-36}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{10±10\sqrt{433}}{-36} 的解。 将 10\sqrt{433} 加上 10。

$$x=\frac{10\sqrt{433}+10}{-36}$$

10+10\sqrt{433} 除以 -36。

$$x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{10±10\sqrt{433}}{-36} 的解。 将 10 减去 10\sqrt{433}。

$$x=\frac{10-10\sqrt{433}}{-36}$$

10-10\sqrt{433} 除以 -36。

$$x=\frac{5\sqrt{433}-5}{18}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18} x=\frac{5\sqrt{433}-5}{18}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于 5。 将公式两边同时乘以 \left(x-5\right)^{2} 的最小公倍数 x^{2}+25-10x,x-5。

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(2x-24x-120\right)=0$$

合并 2x 和 -24x，得到 -22x。

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(-22x-120\right)=0$$

使用分配律将 x-5 乘以 -22x-120，并组合同类项。

$$4x^{2}-22x^{2}-10x+600=0$$

合并 4x^{2} 和 -22x^{2}，得到 -18x^{2}。

$$-18x^{2}-10x+600=0$$

将方程式两边同时减去 600。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$-18x^{2}-10x=-600$$

两边同时除以 -18。

$$\frac{-18x^{2}-10x}{-18}=-\frac{600}{-18}$$

除以 -18 是乘以 -18 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-18}\right)x=-\frac{600}{-18}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-10}{-18} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=-\frac{600}{-18}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{-600}{-18} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{100}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{5}{9} 除以 2 得 \frac{5}{18}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{18} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{100}{3}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{18} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{100}{3}+\frac{25}{324}$$

将 \frac{25}{324} 加上 \frac{100}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{10825}{324}$$

因数 x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{10825}{324}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10825}{324}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{18}=\frac{5\sqrt{433}}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{5\sqrt{433}}{18}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{18}。

$$x=\frac{5\sqrt{433}-5}{18} x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18}$$