求解 frac{4-sqrt{2}}{4+sqrt{2}}-frac{4+sqrt{2}}{4-sqrt{2}}

$$\frac { 4 - \sqrt { 2 } } { 4 + \sqrt { 2 } } - \frac { 4 + \sqrt { 2 } } { 4 - \sqrt { 2 } }$$

求值

$$-\frac{8\sqrt{2}}{7}\approx -1.616244071$$

简短求解步骤

通过将分子和分母乘以 4-\sqrt{2}，使 \frac{4-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}} 的分母有理化

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

请考虑 \left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

对 4 进行平方运算。 对 \sqrt{2} 进行平方运算。

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{16-2}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

将 16 减去 2，得到 14。

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

将 4-\sqrt{2} 与 4-\sqrt{2} 相乘，得到 \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{16-8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{16-8\sqrt{2}+2}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

16 与 2 相加，得到 18。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

通过将分子和分母乘以 4+\sqrt{2}，使 \frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}} 的分母有理化

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}$$

请考虑 \left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

对 4 进行平方运算。 对 \sqrt{2} 进行平方运算。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{16-2}$$

将 16 减去 2，得到 14。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{14}$$

将 4+\sqrt{2} 与 4+\sqrt{2} 相乘，得到 \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+2}{14}$$

16 与 2 相加，得到 18。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{18+8\sqrt{2}}{14}$$

由于 \frac{18-8\sqrt{2}}{14} 和 \frac{18+8\sqrt{2}}{14} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)}{14}$$

完成 18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right) 中的乘法运算。

$$\frac{18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}}{14}$$

完成 18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2} 中的计算。

$$\frac{-16\sqrt{2}}{14}$$

-16\sqrt{2} 除以 14 得 -\frac{8}{7}\sqrt{2}。

$$-\frac{8}{7}\sqrt{2}$$