求解 frac{3+2sqrt{3}}{2-2sqrt{3}}=P+9sqrt{3}

$$\frac { 3 + 2 \sqrt { 3 } } { 2 - 2 \sqrt { 3 } } = P + 9 \sqrt { 3 }$$

求解 P 的值

$$P=\frac{-41\sqrt{3}-9}{4}\approx -20.003520778$$

求解线性方程的步骤

通过将分子和分母乘以 2+2\sqrt{3}，使 \frac{3+2\sqrt{3}}{2-2\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}{\left(2-2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}=P+9\sqrt{3}$$

请考虑 \left(2-2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}}=P+9\sqrt{3}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$\frac{\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}{4-\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}}=P+9\sqrt{3}$$

展开 \left(-2\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\frac{\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}{4-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=P+9\sqrt{3}$$

计算 2 的 -2 乘方，得到 4。

$$\frac{\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}{4-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=P+9\sqrt{3}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}{4-4\times 3}=P+9\sqrt{3}$$

将 4 与 3 相乘，得到 12。

$$\frac{\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}{4-12}=P+9\sqrt{3}$$

将 4 减去 12，得到 -8。

$$\frac{\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}{-8}=P+9\sqrt{3}$$

应用分配律，将 3+2\sqrt{3} 的每一项和 2+2\sqrt{3} 的每一项分别相乘。

$$\frac{6+6\sqrt{3}+4\sqrt{3}+4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-8}=P+9\sqrt{3}$$

合并 6\sqrt{3} 和 4\sqrt{3}，得到 10\sqrt{3}。

$$\frac{6+10\sqrt{3}+4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-8}=P+9\sqrt{3}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{6+10\sqrt{3}+4\times 3}{-8}=P+9\sqrt{3}$$

将 4 与 3 相乘，得到 12。

$$\frac{6+10\sqrt{3}+12}{-8}=P+9\sqrt{3}$$

6 与 12 相加，得到 18。

$$\frac{18+10\sqrt{3}}{-8}=P+9\sqrt{3}$$

18+10\sqrt{3} 的每项除以 -8 得 -\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\sqrt{3}。

$$-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\sqrt{3}=P+9\sqrt{3}$$

移项以使所有变量项位于左边。

$$P+9\sqrt{3}=-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\sqrt{3}$$

将方程式两边同时减去 9\sqrt{3}。

$$P=-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\sqrt{3}-9\sqrt{3}$$

合并 -\frac{5}{4}\sqrt{3} 和 -9\sqrt{3}，得到 -\frac{41}{4}\sqrt{3}。

$$P=-\frac{9}{4}-\frac{41}{4}\sqrt{3}$$