求解 frac{21sqrt{15}}{512+5sqrt{3}}

$$\frac { 21 \sqrt { 15 } } { 512 + 5 \sqrt { 3 } }$$

求值

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}\approx 0.156210599$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 512-5\sqrt{3}，使 \frac{21\sqrt{15}}{512+5\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{\left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)}$$

请考虑 \left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{512^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

计算 2 的 512 乘方，得到 262144。

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

展开 \left(5\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

计算 2 的 5 乘方，得到 25。

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\times 3}$$

将 25 与 3 相乘，得到 75。

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-75}$$

将 262144 减去 75，得到 262069。

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262069}$$

使用分配律将 21\sqrt{15} 乘以 512-5\sqrt{3}。

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{15}}{262069}$$

因式分解 15=3\times 5。 将乘积 \sqrt{3\times 5} 的平方根重写为平方根 \sqrt{3}\sqrt{5} 的乘积。

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{262069}$$

将 \sqrt{3} 与 \sqrt{3} 相乘，得到 3。

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\times 3\sqrt{5}}{262069}$$

将 -105 与 3 相乘，得到 -315。

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}$$