求解 1/36(a-2b)^{3}[(a-2)^{2}(a+2)^{2}+4a^{2}-(2-a^2)^2]-ab(11/3b-a)-(1/3a-b)(b^2+a^2)

$$\frac { 1 } { 36 } ( a - 2 b ) ^ { 3 } [ ( a - 2 ) ^ { 2 } ( a + 2 ) ^ { 2 } + 4 a ^ { 2 } - ( 2 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] - a b ( \frac { 11 } { 3 } b - a ) - ( \frac { 1 } { 3 } a - b ) ( b ^ { 2 } + a ^ { 2 } )$$

求值

$$-\frac{5b^{3}}{3}$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{3}=p^{3}-3p^{2}q+3pq^{2}-q^{3} 展开 \left(a-2b\right)^{3}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(\left(a-2\right)^{2}\left(a+2\right)^{2}+4a^{2}-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} 展开 \left(a-2\right)^{2}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(\left(a^{2}-4a+4\right)\left(a+2\right)^{2}+4a^{2}-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用二项式定理 \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} 展开 \left(a+2\right)^{2}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(\left(a^{2}-4a+4\right)\left(a^{2}+4a+4\right)+4a^{2}-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用分配律将 a^{2}-4a+4 乘以 a^{2}+4a+4，并组合同类项。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-8a^{2}+16+4a^{2}-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 -8a^{2} 和 4a^{2}，得到 -4a^{2}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+16-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} 展开 \left(2-a^{2}\right)^{2}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+16-\left(4-4a^{2}+\left(a^{2}\right)^{2}\right)\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+16-\left(4-4a^{2}+a^{4}\right)\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

要查找 4-4a^{2}+a^{4} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+16-4+4a^{2}-a^{4}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

将 16 减去 4，得到 12。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+12+4a^{2}-a^{4}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 -4a^{2} 和 4a^{2}，得到 0。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}+12-a^{4}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 a^{4} 和 -a^{4}，得到 0。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\times 12-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

将 \frac{1}{36} 与 12 相乘，得到 \frac{1}{3}。

$$\frac{1}{3}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{3} 乘以 a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}。

$$\frac{1}{3}a^{3}-2a^{2}b+4ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用分配律将 ab 乘以 \frac{11}{3}b-a。

$$\frac{1}{3}a^{3}-2a^{2}b+4ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\left(\frac{11}{3}ab^{2}-ba^{2}\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

要查找 \frac{11}{3}ab^{2}-ba^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\frac{1}{3}a^{3}-2a^{2}b+4ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\frac{11}{3}ab^{2}+ba^{2}-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 4ab^{2} 和 -\frac{11}{3}ab^{2}，得到 \frac{1}{3}ab^{2}。

$$\frac{1}{3}a^{3}-2a^{2}b+\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}+ba^{2}-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 -2a^{2}b 和 ba^{2}，得到 -a^{2}b。

$$\frac{1}{3}a^{3}-a^{2}b+\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{3}a-b 乘以 b^{2}+a^{2}。

$$\frac{1}{3}a^{3}-a^{2}b+\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\left(\frac{1}{3}ab^{2}+\frac{1}{3}a^{3}-b^{3}-ba^{2}\right)$$

要查找 \frac{1}{3}ab^{2}+\frac{1}{3}a^{3}-b^{3}-ba^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\frac{1}{3}a^{3}-a^{2}b+\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{1}{3}a^{3}+b^{3}+ba^{2}$$

合并 \frac{1}{3}ab^{2} 和 -\frac{1}{3}ab^{2}，得到 0。

$$\frac{1}{3}a^{3}-a^{2}b-\frac{8}{3}b^{3}-\frac{1}{3}a^{3}+b^{3}+ba^{2}$$

合并 \frac{1}{3}a^{3} 和 -\frac{1}{3}a^{3}，得到 0。

$$-a^{2}b-\frac{8}{3}b^{3}+b^{3}+ba^{2}$$

合并 -\frac{8}{3}b^{3} 和 b^{3}，得到 -\frac{5}{3}b^{3}。

$$-a^{2}b-\frac{5}{3}b^{3}+ba^{2}$$

合并 -a^{2}b 和 ba^{2}，得到 0。

$$-\frac{5}{3}b^{3}$$

展开

$$-\frac{5b^{3}}{3}$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{3}=p^{3}-3p^{2}q+3pq^{2}-q^{3} 展开 \left(a-2b\right)^{3}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(\left(a-2\right)^{2}\left(a+2\right)^{2}+4a^{2}-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} 展开 \left(a-2\right)^{2}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(\left(a^{2}-4a+4\right)\left(a+2\right)^{2}+4a^{2}-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用二项式定理 \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} 展开 \left(a+2\right)^{2}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(\left(a^{2}-4a+4\right)\left(a^{2}+4a+4\right)+4a^{2}-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用分配律将 a^{2}-4a+4 乘以 a^{2}+4a+4，并组合同类项。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-8a^{2}+16+4a^{2}-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 -8a^{2} 和 4a^{2}，得到 -4a^{2}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+16-\left(2-a^{2}\right)^{2}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} 展开 \left(2-a^{2}\right)^{2}。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+16-\left(4-4a^{2}+\left(a^{2}\right)^{2}\right)\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+16-\left(4-4a^{2}+a^{4}\right)\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

要查找 4-4a^{2}+a^{4} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+16-4+4a^{2}-a^{4}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

将 16 减去 4，得到 12。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}-4a^{2}+12+4a^{2}-a^{4}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 -4a^{2} 和 4a^{2}，得到 0。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\left(a^{4}+12-a^{4}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 a^{4} 和 -a^{4}，得到 0。

$$\frac{1}{36}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)\times 12-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

将 \frac{1}{36} 与 12 相乘，得到 \frac{1}{3}。

$$\frac{1}{3}\left(a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}\right)-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{3} 乘以 a^{3}-6a^{2}b+12ab^{2}-8b^{3}。

$$\frac{1}{3}a^{3}-2a^{2}b+4ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-ab\left(\frac{11}{3}b-a\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用分配律将 ab 乘以 \frac{11}{3}b-a。

$$\frac{1}{3}a^{3}-2a^{2}b+4ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\left(\frac{11}{3}ab^{2}-ba^{2}\right)-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

要查找 \frac{11}{3}ab^{2}-ba^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\frac{1}{3}a^{3}-2a^{2}b+4ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\frac{11}{3}ab^{2}+ba^{2}-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 4ab^{2} 和 -\frac{11}{3}ab^{2}，得到 \frac{1}{3}ab^{2}。

$$\frac{1}{3}a^{3}-2a^{2}b+\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}+ba^{2}-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

合并 -2a^{2}b 和 ba^{2}，得到 -a^{2}b。

$$\frac{1}{3}a^{3}-a^{2}b+\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\left(\frac{1}{3}a-b\right)\left(b^{2}+a^{2}\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{3}a-b 乘以 b^{2}+a^{2}。

$$\frac{1}{3}a^{3}-a^{2}b+\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\left(\frac{1}{3}ab^{2}+\frac{1}{3}a^{3}-b^{3}-ba^{2}\right)$$

要查找 \frac{1}{3}ab^{2}+\frac{1}{3}a^{3}-b^{3}-ba^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\frac{1}{3}a^{3}-a^{2}b+\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{8}{3}b^{3}-\frac{1}{3}ab^{2}-\frac{1}{3}a^{3}+b^{3}+ba^{2}$$

合并 \frac{1}{3}ab^{2} 和 -\frac{1}{3}ab^{2}，得到 0。

$$\frac{1}{3}a^{3}-a^{2}b-\frac{8}{3}b^{3}-\frac{1}{3}a^{3}+b^{3}+ba^{2}$$

合并 \frac{1}{3}a^{3} 和 -\frac{1}{3}a^{3}，得到 0。

$$-a^{2}b-\frac{8}{3}b^{3}+b^{3}+ba^{2}$$

合并 -\frac{8}{3}b^{3} 和 b^{3}，得到 -\frac{5}{3}b^{3}。

$$-a^{2}b-\frac{5}{3}b^{3}+ba^{2}$$

合并 -a^{2}b 和 ba^{2}，得到 0。

$$-\frac{5}{3}b^{3}$$