求解 1/sqrt{2008-sqrt{200}}

$$\frac { 1 } { \sqrt { 2008 } - \sqrt { 200 } }$$

求值

$$\frac{\sqrt{502}+5\sqrt{2}}{904}\approx 0.032606664$$

求解步骤

因式分解 2008=2^{2}\times 502。 将乘积 \sqrt{2^{2}\times 502} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2^{2}}\sqrt{502} 的乘积。 取 2^{2} 的平方根。

$$\frac{1}{2\sqrt{502}-\sqrt{200}}$$

因式分解 200=10^{2}\times 2。 将乘积 \sqrt{10^{2}\times 2} 的平方根重写为平方根 \sqrt{10^{2}}\sqrt{2} 的乘积。 取 10^{2} 的平方根。

$$\frac{1}{2\sqrt{502}-10\sqrt{2}}$$

通过将分子和分母乘以 2\sqrt{502}+10\sqrt{2}，使 \frac{1}{2\sqrt{502}-10\sqrt{2}} 的分母有理化

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{\left(2\sqrt{502}-10\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{502}+10\sqrt{2}\right)}$$

请考虑 \left(2\sqrt{502}-10\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{502}+10\sqrt{2}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{\left(2\sqrt{502}\right)^{2}-\left(-10\sqrt{2}\right)^{2}}$$

展开 \left(2\sqrt{502}\right)^{2}。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{2^{2}\left(\sqrt{502}\right)^{2}-\left(-10\sqrt{2}\right)^{2}}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{4\left(\sqrt{502}\right)^{2}-\left(-10\sqrt{2}\right)^{2}}$$

\sqrt{502} 的平方是 502。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{4\times 502-\left(-10\sqrt{2}\right)^{2}}$$

将 4 与 502 相乘，得到 2008。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{2008-\left(-10\sqrt{2}\right)^{2}}$$

展开 \left(-10\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{2008-\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

计算 2 的 -10 乘方，得到 100。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{2008-100\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{2008-100\times 2}$$

将 100 与 2 相乘，得到 200。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{2008-200}$$

将 2008 减去 200，得到 1808。

$$\frac{2\sqrt{502}+10\sqrt{2}}{1808}$$