求解 frac{sqrt{7}-3sqrt{6}}{sqrt{2}-3sqrt{7}}

$$\frac { \sqrt { 7 } - 3 \sqrt { 6 } } { \sqrt { 2 } - 3 \sqrt { 7 } }$$

求值

$$\frac{6\sqrt{3}+9\sqrt{42}-\sqrt{14}-21}{61}\approx 0.72093957$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}+3\sqrt{7}，使 \frac{\sqrt{7}-3\sqrt{6}}{\sqrt{2}-3\sqrt{7}} 的分母有理化

$$\frac{\left(\sqrt{7}-3\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)}$$

请考虑 \left(\sqrt{2}-3\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{7}-3\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(-3\sqrt{7}\right)^{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{\left(\sqrt{7}-3\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)}{2-\left(-3\sqrt{7}\right)^{2}}$$

展开 \left(-3\sqrt{7}\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{7}-3\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)}{2-\left(-3\right)^{2}\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

计算 2 的 -3 乘方，得到 9。

$$\frac{\left(\sqrt{7}-3\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)}{2-9\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

\sqrt{7} 的平方是 7。

$$\frac{\left(\sqrt{7}-3\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)}{2-9\times 7}$$

将 9 与 7 相乘，得到 63。

$$\frac{\left(\sqrt{7}-3\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)}{2-63}$$

将 2 减去 63，得到 -61。

$$\frac{\left(\sqrt{7}-3\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+3\sqrt{7}\right)}{-61}$$

应用分配律，将 \sqrt{7}-3\sqrt{6} 的每一项和 \sqrt{2}+3\sqrt{7} 的每一项分别相乘。

$$\frac{\sqrt{7}\sqrt{2}+3\left(\sqrt{7}\right)^{2}-3\sqrt{6}\sqrt{2}-9\sqrt{6}\sqrt{7}}{-61}$$

若要将 \sqrt{7} 和 \sqrt{2} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$\frac{\sqrt{14}+3\left(\sqrt{7}\right)^{2}-3\sqrt{6}\sqrt{2}-9\sqrt{6}\sqrt{7}}{-61}$$

\sqrt{7} 的平方是 7。

$$\frac{\sqrt{14}+3\times 7-3\sqrt{6}\sqrt{2}-9\sqrt{6}\sqrt{7}}{-61}$$

将 3 与 7 相乘，得到 21。

$$\frac{\sqrt{14}+21-3\sqrt{6}\sqrt{2}-9\sqrt{6}\sqrt{7}}{-61}$$

因式分解 6=2\times 3。 将乘积 \sqrt{2\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2}\sqrt{3} 的乘积。

$$\frac{\sqrt{14}+21-3\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}-9\sqrt{6}\sqrt{7}}{-61}$$

将 \sqrt{2} 与 \sqrt{2} 相乘，得到 2。

$$\frac{\sqrt{14}+21-3\times 2\sqrt{3}-9\sqrt{6}\sqrt{7}}{-61}$$

将 -3 与 2 相乘，得到 -6。

$$\frac{\sqrt{14}+21-6\sqrt{3}-9\sqrt{6}\sqrt{7}}{-61}$$

若要将 \sqrt{6} 和 \sqrt{7} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$\frac{\sqrt{14}+21-6\sqrt{3}-9\sqrt{42}}{-61}$$

将分子和分母同时乘以 -1。

$$\frac{-\sqrt{14}-21+6\sqrt{3}+9\sqrt{42}}{61}$$