求解 frac{sqrt{10}+sqrt{15}}{sqrt{2}+sqrt{3}}

$$\frac { \sqrt { 10 } + \sqrt { 15 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } }$$

求值

$$\sqrt{5}\approx 2.236067977$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}-\sqrt{3}，使 \frac{\sqrt{10}+\sqrt{15}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}$$

请考虑 \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

对 \sqrt{2} 进行平方运算。 对 \sqrt{3} 进行平方运算。

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2-3}$$

将 2 减去 3，得到 -1。

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{-1}$$

任何数除以 -1 都得它的相反数。

$$-\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$$

应用分配律，将 \sqrt{10}+\sqrt{15} 的每一项和 \sqrt{2}-\sqrt{3} 的每一项分别相乘。

$$-\left(\sqrt{10}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

因式分解 10=2\times 5。 将乘积 \sqrt{2\times 5} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2}\sqrt{5} 的乘积。

$$-\left(\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

将 \sqrt{2} 与 \sqrt{2} 相乘，得到 2。

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

若要将 \sqrt{10} 和 \sqrt{3} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

若要将 \sqrt{15} 和 \sqrt{2} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{30}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

合并 -\sqrt{30} 和 \sqrt{30}，得到 0。

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

因式分解 15=3\times 5。 将乘积 \sqrt{3\times 5} 的平方根重写为平方根 \sqrt{3}\sqrt{5} 的乘积。

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\right)$$

将 \sqrt{3} 与 \sqrt{3} 相乘，得到 3。

$$-\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}\right)$$

合并 2\sqrt{5} 和 -3\sqrt{5}，得到 -\sqrt{5}。

$$-\left(-\sqrt{5}\right)$$

-\sqrt{5} 的相反数是 \sqrt{5}。

$$\sqrt{5}$$