解決z^2+2/5z+1=0 |Microsoft數學求解器

$$z ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } z + 1 = 0$$

解 z

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}\approx -0.2+0.979795897i$$

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}\approx -0.2-0.979795897i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 \frac{2}{5} 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4}}{2}$$

\frac{2}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\frac{4}{25}-4}}{2}$$

將 \frac{4}{25} 加到 -4。

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{-\frac{96}{25}}}{2}$$

取 -\frac{96}{25} 的平方根。

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}。 將 -\frac{2}{5} 加到 \frac{4i\sqrt{6}}{5}。

$$z=\frac{-2+4\sqrt{6}i}{2\times 5}$$

\frac{-2+4i\sqrt{6}}{5} 除以 2。

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}。 從 -\frac{2}{5} 減去 \frac{4i\sqrt{6}}{5}。

$$z=\frac{-4\sqrt{6}i-2}{2\times 5}$$

\frac{-2-4i\sqrt{6}}{5} 除以 2。

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$z^{2}+\frac{2}{5}z=-1$$

將 \frac{2}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{5}。接著，將 \frac{1}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

\frac{1}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{25}$$

將 -1 加到 \frac{1}{25}。

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-\frac{24}{25}$$

因數分解 z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{25}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24}{25}}$$

化簡。

$$z+\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}i}{5} z+\frac{1}{5}=-\frac{2\sqrt{6}i}{5}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{5}。

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$