解決x+(1-x)^2=19/27 |Microsoft數學求解器

$$x + ( 1 - x ) ^ { 2 } = \frac { 19 } { 27 }$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{1}{2}\approx 0.5+0.215165741i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{1}{2}\approx 0.5-0.215165741i$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(1-x\right)^{2}。

$$x+1-2x+x^{2}=\frac{19}{27}$$

合併 x 和 -2x 以取得 -x。

$$-x+1+x^{2}=\frac{19}{27}$$

從兩邊減去 \frac{19}{27}。

$$-x+1+x^{2}-\frac{19}{27}=0$$

從 1 減去 \frac{19}{27} 會得到 \frac{8}{27}。

$$-x+\frac{8}{27}+x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}-x+\frac{8}{27}=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -1 代入 b，以及將 \frac{8}{27} 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{8}{27}}}{2}$$

-4 乘上 \frac{8}{27}。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-\frac{32}{27}}}{2}$$

將 1 加到 -\frac{32}{27}。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-\frac{5}{27}}}{2}$$

取 -\frac{5}{27} 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\frac{\sqrt{15}i}{9}}{2}$$

-1 的相反數是 1。

$$x=\frac{1±\frac{\sqrt{15}i}{9}}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{1±\frac{\sqrt{15}i}{9}}{2}。 將 1 加到 \frac{i\sqrt{15}}{9}。

$$x=\frac{\frac{\sqrt{15}i}{9}+1}{2}$$

1+\frac{i\sqrt{15}}{9} 除以 2。

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{1}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{1±\frac{\sqrt{15}i}{9}}{2}。 從 1 減去 \frac{i\sqrt{15}}{9}。

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{15}i}{9}+1}{2}$$

1-\frac{i\sqrt{15}}{9} 除以 2。

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{1}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{1}{2}$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(1-x\right)^{2}。

$$x+1-2x+x^{2}=\frac{19}{27}$$

合併 x 和 -2x 以取得 -x。

$$-x+1+x^{2}=\frac{19}{27}$$

從兩邊減去 1。

$$-x+x^{2}=\frac{19}{27}-1$$

從 \frac{19}{27} 減去 1 會得到 -\frac{8}{27}。

$$-x+x^{2}=-\frac{8}{27}$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}-x=-\frac{8}{27}$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{8}{27}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{8}{27}+\frac{1}{4}$$

將 -\frac{8}{27} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{108}$$

因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{108}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{108}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{18} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{18}$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{1}{2}$$