解決9x^2-19x-24=0 |Microsoft數學求解器

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

$$x=3$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 9x^{2}+ax+bx-24。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -216 的所有此類整數組合。

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

計算每個組合的總和。

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

該解的總和為 -19。

$$a=-27 b=8$$

將 9x^{2}-19x-24 重寫為 \left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)。

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

在第一個組因式分解是 9x，且第二個組是 8。

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-3。

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-3=0 並 9x+8=0。

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$9x^{2}-19x-24=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 9 代入 a，將 -19 代入 b，以及將 -24 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

對 -19 平方。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

-4 乘上 9。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

-36 乘上 -24。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

將 361 加到 864。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

取 1225 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

-19 的相反數是 19。

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

2 乘上 9。

$$x=\frac{19±35}{18}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{19±35}{18}。 將 19 加到 35。

$$x=\frac{54}{18}$$

54 除以 18。

$$x=3$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{19±35}{18}。 從 19 減去 35。

$$x=-\frac{16}{18}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-16}{18} 約分至最低項。

$$x=-\frac{8}{9}$$

現已成功解出方程式。

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$9x^{2}-19x-24=0$$

將 24 加到方程式的兩邊。

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

從 -24 減去本身會剩下 0。

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

從 0 減去 -24。

$$9x^{2}-19x=24$$

將兩邊同時除以 9。

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

除以 9 可以取消乘以 9 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{24}{9} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

將 -\frac{19}{9} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{19}{18}。接著，將 -\frac{19}{18} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

-\frac{19}{18} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

將 \frac{8}{3} 與 \frac{361}{324} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

因數分解 x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

化簡。

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

將 \frac{19}{18} 加到方程式的兩邊。

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$