解決9n^2-33n-1456=0 |Microsoft數學求解器

$$9 n ^ { 2 } - 33 n - 1456 = 0$$

解 n

$$n = \frac{\sqrt{5945} + 11}{6} \approx 14.683971017$$

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}\approx -11.017304351$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 9 代入 a，將 -33 代入 b，以及將 -1456 代入 c。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

對 -33 平方。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

-4 乘上 9。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-36\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

-36 乘上 -1456。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+52416}}{2\times 9}$$

將 1089 加到 52416。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{53505}}{2\times 9}$$

取 53505 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

-33 的相反數是 33。

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

2 乘上 9。

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}。 將 33 加到 3\sqrt{5945}。

$$n=\frac{3\sqrt{5945}+33}{18}$$

33+3\sqrt{5945} 除以 18。

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}。 從 33 減去 3\sqrt{5945}。

$$n=\frac{33-3\sqrt{5945}}{18}$$

33-3\sqrt{5945} 除以 18。

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

現已成功解出方程式。

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

將 1456 加到方程式的兩邊。

$$9n^{2}-33n-1456-\left(-1456\right)=-\left(-1456\right)$$

從 -1456 減去本身會剩下 0。

$$9n^{2}-33n=-\left(-1456\right)$$

從 0 減去 -1456。

$$9n^{2}-33n=1456$$

將兩邊同時除以 9。

$$\frac{9n^{2}-33n}{9}=\frac{1456}{9}$$

除以 9 可以取消乘以 9 造成的效果。

$$n^{2}+\left(-\frac{33}{9}\right)n=\frac{1456}{9}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{-33}{9} 約分至最低項。

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{1456}{9}$$

將 -\frac{11}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{11}{6}。接著，將 -\frac{11}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1456}{9}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

-\frac{11}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{1456}{9}+\frac{121}{36}$$

將 \frac{1456}{9} 與 \frac{121}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{5945}{36}$$

因數分解 n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{5945}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5945}{36}}$$

化簡。

$$n-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{5945}}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{5945}}{6}$$

將 \frac{11}{6} 加到方程式的兩邊。

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$