解決7x^2+5x-78=0 |Microsoft數學求解器

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

$$x=3$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 7x^{2}+ax+bx-78。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -546 的所有此類整數組合。

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

計算每個組合的總和。

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

該解的總和為 5。

$$a=-21 b=26$$

將 7x^{2}+5x-78 重寫為 \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)。

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

在第一個組因式分解是 7x，且第二個組是 26。

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-3。

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-3=0 並 7x+26=0。

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$7x^{2}+5x-78=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 7 代入 a，將 5 代入 b，以及將 -78 代入 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

對 5 平方。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

-4 乘上 7。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

-28 乘上 -78。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

將 25 加到 2184。

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

取 2209 的平方根。

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

2 乘上 7。

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-5±47}{14}。 將 -5 加到 47。

$$x=\frac{42}{14}$$

42 除以 14。

$$x=3$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-5±47}{14}。 從 -5 減去 47。

$$x=-\frac{52}{14}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-52}{14} 約分至最低項。

$$x=-\frac{26}{7}$$

現已成功解出方程式。

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$7x^{2}+5x-78=0$$

將 78 加到方程式的兩邊。

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

從 -78 減去本身會剩下 0。

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

從 0 減去 -78。

$$7x^{2}+5x=78$$

將兩邊同時除以 7。

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

除以 7 可以取消乘以 7 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

將 \frac{5}{7} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{5}{14}。接著，將 \frac{5}{14} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

\frac{5}{14} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

將 \frac{78}{7} 與 \frac{25}{196} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

因數分解 x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

化簡。

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{14}。

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$