解決7t^2-32t+12=0 |Microsoft數學求解器

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

解 t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4.15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0.412160422$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$7t^{2}-32t+12=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 7 代入 a，將 -32 代入 b，以及將 12 代入 c。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

對 -32 平方。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

-4 乘上 7。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

-28 乘上 12。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

將 1024 加到 -336。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

取 688 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

-32 的相反數是 32。

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

2 乘上 7。

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}。 將 32 加到 4\sqrt{43}。

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

32+4\sqrt{43} 除以 14。

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}。 從 32 減去 4\sqrt{43}。

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

32-4\sqrt{43} 除以 14。

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

現已成功解出方程式。

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$7t^{2}-32t+12=0$$

從方程式兩邊減去 12。

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

從 12 減去本身會剩下 0。

$$7t^{2}-32t=-12$$

將兩邊同時除以 7。

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

除以 7 可以取消乘以 7 造成的效果。

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

將 -\frac{32}{7} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{16}{7}。接著，將 -\frac{16}{7} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

-\frac{16}{7} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

將 -\frac{12}{7} 與 \frac{256}{49} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

因數分解 t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

化簡。

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

將 \frac{16}{7} 加到方程式的兩邊。

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$