解決7n^2+39n-18=0 |Microsoft數學求解器

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

解 n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 7n^{2}+an+bn-18。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -126 的所有此類整數組合。

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

計算每個組合的總和。

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

該解的總和為 39。

$$a=-3 b=42$$

將 7n^{2}+39n-18 重寫為 \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)。

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

在第一個組因式分解是 n，且第二個組是 6。

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 7n-3。

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 7n-3=0 並 n+6=0。

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$7n^{2}+39n-18=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 7 代入 a，將 39 代入 b，以及將 -18 代入 c。

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

對 39 平方。

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

-4 乘上 7。

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

-28 乘上 -18。

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

將 1521 加到 504。

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

取 2025 的平方根。

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

2 乘上 7。

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{-39±45}{14}。 將 -39 加到 45。

$$n=\frac{6}{14}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{6}{14} 約分至最低項。

$$n=\frac{3}{7}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{-39±45}{14}。 從 -39 減去 45。

$$n=-\frac{84}{14}$$

-84 除以 14。

$$n=-6$$

現已成功解出方程式。

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$7n^{2}+39n-18=0$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

從 -18 減去本身會剩下 0。

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

從 0 減去 -18。

$$7n^{2}+39n=18$$

將兩邊同時除以 7。

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

除以 7 可以取消乘以 7 造成的效果。

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

將 \frac{39}{7} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{39}{14}。接著，將 \frac{39}{14} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

\frac{39}{14} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

將 \frac{18}{7} 與 \frac{1521}{196} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

因數分解 n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

化簡。

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

從方程式兩邊減去 \frac{39}{14}。

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$