解決6x^2+19x-7=0 |Microsoft數學求解器

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

解 x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 6x^{2}+ax+bx-7。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -42 的所有此類整數組合。

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

計算每個組合的總和。

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

該解的總和為 19。

$$a=-2 b=21$$

將 6x^{2}+19x-7 重寫為 \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)。

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

在第一個組因式分解是 2x，且第二個組是 7。

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3x-1。

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 3x-1=0 並 2x+7=0。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$6x^{2}+19x-7=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 6 代入 a，將 19 代入 b，以及將 -7 代入 c。

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

對 19 平方。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-4 乘上 6。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-24 乘上 -7。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

將 361 加到 168。

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

取 529 的平方根。

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

2 乘上 6。

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-19±23}{12}。 將 -19 加到 23。

$$x=\frac{4}{12}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{4}{12} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-19±23}{12}。 從 -19 減去 23。

$$x=-\frac{42}{12}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{-42}{12} 約分至最低項。

$$x=-\frac{7}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$6x^{2}+19x-7=0$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

從 -7 減去本身會剩下 0。

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

從 0 減去 -7。

$$6x^{2}+19x=7$$

將兩邊同時除以 6。

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

除以 6 可以取消乘以 6 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

將 \frac{19}{6} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{19}{12}。接著，將 \frac{19}{12} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

\frac{19}{12} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

將 \frac{7}{6} 與 \frac{361}{144} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

因數分解 x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

化簡。

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

從方程式兩邊減去 \frac{19}{12}。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$