解決5x^2-2x-16=0 |Microsoft數學求解器

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=2$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 5x^{2}+ax+bx-16。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -80 的所有此類整數組合。

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

計算每個組合的總和。

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

該解的總和為 -2。

$$a=-10 b=8$$

將 5x^{2}-2x-16 重寫為 \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)。

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

在第一個組因式分解是 5x，且第二個組是 8。

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-2。

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-2=0 並 5x+8=0。

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5x^{2}-2x-16=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 -2 代入 b，以及將 -16 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

對 -2 平方。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

-20 乘上 -16。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

將 4 加到 320。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

取 324 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

-2 的相反數是 2。

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$x=\frac{2±18}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{2±18}{10}。 將 2 加到 18。

$$x=\frac{20}{10}$$

20 除以 10。

$$x=2$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{2±18}{10}。 從 2 減去 18。

$$x=-\frac{16}{10}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-16}{10} 約分至最低項。

$$x=-\frac{8}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5x^{2}-2x-16=0$$

將 16 加到方程式的兩邊。

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

從 -16 減去本身會剩下 0。

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

從 0 減去 -16。

$$5x^{2}-2x=16$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

將 -\frac{2}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{5}。接著，將 -\frac{1}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

-\frac{1}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

將 \frac{16}{5} 與 \frac{1}{25} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

因數分解 x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

將 \frac{1}{5} 加到方程式的兩邊。

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$