解決5x^2-12x-7=0 |Microsoft數學求解器

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2.885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0.485229955$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5x^{2}-12x-7=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 -12 代入 b，以及將 -7 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

對 -12 平方。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-20 乘上 -7。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

將 144 加到 140。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

取 284 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

-12 的相反數是 12。

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}。 將 12 加到 2\sqrt{71}。

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

12+2\sqrt{71} 除以 10。

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}。 從 12 減去 2\sqrt{71}。

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

12-2\sqrt{71} 除以 10。

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5x^{2}-12x-7=0$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

從 -7 減去本身會剩下 0。

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

從 0 減去 -7。

$$5x^{2}-12x=7$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

將 -\frac{12}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{6}{5}。接著，將 -\frac{6}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

-\frac{6}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

將 \frac{7}{5} 與 \frac{36}{25} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

因數分解 x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

化簡。

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

將 \frac{6}{5} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$